GMAT第一性原理之数学

毕出 · 2021年2月7日
GMAT第一性原理之数学

前面我们已经将vebal部分的句子改错批判性推理阅读理解的第一性原理分别做了阐述,最后我们来讲讲数学:


所有的数学命题最终应归结为关于自然数的命题,这一点是现代数学的指导原则。

数学家克隆尼克(L.Kronecker)说过:“上帝创造了自然数,其余的是人的工作”。

我们需要把自然数及其两种基本运算—加法和乘法—当作已知概念(对,你没看错,不是四则运算,这是小学最大的误区之一),它们无法被证明,是数学的第一性原理。

基于加法和乘法这两个运算,我们可以向上推理出它们的逆运算—减法和除法。加法和乘法在自然数的体系中是永远有效的,即,无论取多少个自然数做加法或乘法,所得的结果必然依旧在自然数体系内。


但它们的逆运算,减法或除法,则没有这个必然性。例如:

9-3 = 6

6依然是自然数,但,3-9的运算结果明显不在自然数体系内。

基于此,我们人为规定了负数,即,当被减数小于减数时,减法运算的结果为负数。


又例如:

9/3 = 3

3依然是自然数,但9/4的结果就不在自然数体系内了,基于此规定了余数的概念;4/9显然也不在自然数体系内,基于此规定了分数的概念。

当然,从另一个角度,从自然数和乘法又可以向上推理出质数因子等概念。

数字因运算的需要而被拓展为自然数,整数,负数,分数。这些数都是能通过常理逻辑想到的,所以它们叫“有理数”,常识上已经足以度量所有的长度了。


例如,我们规定“—”为单位长度(即为1)。任意一段线段,我们都可以用n个“—”来表示。如果待测线段的长度不是完整的单位,我们可以利用分数,把单位长度的线段进行无限细分,常理上,总是可以找到和待测线段匹配的长度。

但基于非常简单的证明,就可以得到一些“反常理”的数。例如,

1+1 = x2

我们假设,x可以用分数进行度量,因此设它为p/q,同时假设此时p/q已无法再约分,即,最简分数。

(p/q)2 = 2

p2 = 2q2

由于两个奇数相乘必定是奇数,所以此时p必为偶数(因为2q2必然是偶数)。

我们可以把p表示为2r,代入,则有:

4r2 = 2q2

q2 = 2r2

同理,此时q也必为偶数。

还记得这个推理最开始的假设么?我们假设,p/q已无法再约分。但两个偶数必然是可以再约分的,和假设矛盾。

换句话说, x2 = 2中的x是无法用最简分数表达的。用直尺和圆规,很容易在数轴上找到x的位置(半径为1,圆心在原点上画弧,弧和数轴的交点就是x的位置)。

这个在常识上十分容易找到且度量的点,是用单位长度和分数永远无法表达的。正是因为这种数是如此的不合常理,所以它们被称为:无理数。


由这些数对应的元素可以构成另一个基本概念—集合。如同数可以通过加法和乘法形成另外的数一样,一些集合通过某些运算可以形成另外的集合。这就是集合代数的由来。交集,并集,补集,容斥原理等这些概念就是结合了数字算法和常识后的产物。

当集合内的元素都是数字时,研究集合内的元素规律,可以得到“数列”的概念。等差,等比,递推,都是集合中数字元素的关系。

集合代数不仅能研究数字,还可以用于研究非数字概念。非数字概念中,最重要的莫过于“事件”了。如果把集合代数用于研究事件,则形成了另一门学科—概率论

这也是为什么在计算独立事件的概率时,我们用的不是普通的加减法,而是集合论中的“容斥原理”(因为事件是以集合代数为根基向上推理得出,而非以自然数为根基)。


利用这些可度量(有理数)或不可度量(无理数)的数为单位,我们可以构造出在生活中常见的几何图形。例如,三角形,圆形,正方形,长方形,梯型,正方体,长方体,棱锥等等。

它们的边长和面积的关系,刚好和基本算法中的乘法相对应,所以面积公式就用乘法来定义了。

将基本几何图形放在坐标系中,形成了—解析几何

解析几何需要做图描点工具,这个工具可以被定义为“函数”

函数的一种特殊情况,即,因变量为常数时,就得到了方程的概念。

用方程来建模实际生活中的事件,就有了稀释问题,工程问题,和追击问题等等。


无论初等数学还是高等数学,均可以由自然数,加法,和乘法这三个简单到极致的概念推理得出。自然数,加法,和乘法即为数学的第一性原理。


相关阅读:

  1. 总述
  2. 句子改错的第一性原理
  3. 批判性推理的第一性原理
  4. 阅读理解第一性原理

文章分类: GMAT扫盲

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